Das Dualzahlensystem

dual von/nach dezimal | Online-Rechner | Gigabyte ... | Addition & Multiplikation | Überblick
Der Computer kann nur mit zwei möglichen Zuständen „rechnen“ aus/an – Strom fließt nicht/Strom fließt usw. – wofür man meist die Ziffern 0/1 verwendet. Durch Annahme dieser Zustände in technischen Schaltungen können Rechenoperationen realisiert werden.
Kleinste Einheit der Datendarstellung, die zwei mögliche Werte (0/1) annehmen kann: Bit.
Die sogenannten binären Zustände werden üblicherweise mit H und L abgekürzt. Die logischen Zustände sind 1 und 0.
Elektronisches Bauteil Zustand 0 Zustand 1  
Relais oder Schalter offen geschlossen  
Röhre oder Transistor nicht leitend leitend  
Elektrischer Impuls Impuls nicht vorhanden Impuls vorhanden  
 
16er
8er
4er
2er
1er
 kurz
           
           
           
           
Übernehmen Sie die Skizze in Ihr Heft.
Aufgabe a): Wie sieht die Bootsbelegung aus, wenn ein Schüler wegen Erkrankung nicht mitfahren kann, wenn zwei Schüler ihre Väter noch mitbringen?

Umwandlung von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt

Beispiel 1:



 101 = = 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1

                                =      4 +      0 +       1 = 5

101 im Dualsystem dargestellt bedeutet also die Zahl 5 im Dezimalsystem, kurz .




Beispiel 2:

77 : 2 = 38 Rest 1
38 : 2 = 19 Rest 0
19 : 2 = 9 Rest 1
9 : 2 = 4 Rest 1
4 : 2 = 2 Rest 0
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1

Ergebnis: Die Dualschreibweise von 77 ist also - von unten gelesen! - 1001101

Überprüfung mit dem Online-Rechner

Online-Umrechner

Beispiel 3:

Ein Bit ist die kleinste Speichereinheit in der EDV. In einem Bit kann eine Information gespeichert werden. Diese Information kann zwei Zustände haben, nämlich AN oder AUS, also 1 oder 0. Da man jedoch mit dieser Information relativ wenig anfangen kann, hat man Bits zu Bytes zusammengefasst.

Was ist ein Byte?

Ein Byte ist die Zusammenfassung von 8 Bits.
Mit 1 Byte, also 8 Bits, kann man 256 verschiedene Zustände darstellen.
Warum 256 verschiedene Zustände?
Die kleinste Zahl, die mit 8 Bits dargestellt werden kann ist die dezimale 0, in Dualschreibweise 00000000.
Die größte darstellbare Zahl ist die die dezimale 255, in Dualschreibweise 11111111.
Wir überprüfen das anhand der Potenzschreibweise:
11111111 = 1*2 hoch 7 + 1*2 hoch 6
                                       + 1*2 hoch 5
                                       + 1*2 hoch 4
                                       + 1*2 hoch 3
                                       + 1*2 hoch 2
                                       + 1*2 hoch 1
                                       + 1*2 hoch 0
                 
                 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Auch hier gilt wieder: 1 bis 255 sind 255 Zahlen.
Zuzüglich der 0 sind wir bei 256 verschiedenen Zahlen bzw. 256 verschiedenen Zuständen.
Der Begriff Byte stammt ursprünglich daher, dass ein Prozessor in einem Rechenschritt ein "Biss", also 8 Bit auf einmal aus dem Speicher auslesen konnte. Dieser Begriff ist mit denen neuen Prozessorarchitekturen eigentlich nicht mehr aktuell.

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Kilobyte, Megabyte, Gigabyte

Ein Kilobyte sind ca. tausend Byte. Genauer: 2 hoch 10 Byte = 1.024 Byte
Ein Megabyte sind ca. eine Millionen Byte. Genauer: 2 hoch 20 Byte = 1.048.576 Byte
Ein Gigabyte sind ca. eine Milliarde Byte. Genauer: 2 hoch 30 Byte = 1.073.741.824 Byte

kibi Ki 2 hoch 10  = 1024 hoch 1  = 1.024
mebi Mi 2 hoch 20  = 1024 hoch 2  = 1.048.576
gibi Gi 2 hoch 30  = 1024 hoch 3  = 1.073.741.824
tebi Ti 2 hoch 40  = 1024 hoch 4  = 1.099.511.627.776

Name Symbol Wert gemäß SI nächstliegende Zweierpotenz
Kilo k 10 3 = 1.000 2 10 = 1.024
Mega M 10 6 = 1.000.000 2 20 = 1.048.576
Giga G 10 9 = 1.000.000.000 2 30 = 1.073.741.824
Tera T 10 12 = 1.000.000.000.000 2 40 = 1.099.511.627.776
Peta P 10 15 = 1.000.000.000.000.000 2 50 = 1.125.899.906.842.624
Exa E 10 18 = 1.000.000.000.000.000.000 2 60 = 1.152.921.504.606.846.976
Zetta Z 10 21 = 1.000.000.000.000.000.000.000 2 70 = 1.180.591.620.717.411.303.424
Yotta Y 10 24 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000  2 80 = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 

 

Wie viel Kilobyte waren jetzt noch mal wie viel Megabyte? Und umgekehrt? Einfach den umzurechnenden Wert eingeben, auf "Umrechnen" klicken und los geht's.

Bitte beachten Sie, dass Sie immer nur ein Feld ausfüllen sollten.

Kilobyte    Megabyte

  

 

 

 

 

 

 

Hefteintrag:
- Es gibt zwei Ziffern: 0 und 1.
- Mit einem Bit kann man 2 Zahlen zum Rechnen darstellen.
- Die höchstwertige Stelle steht links
- Die niederwertigen Stellen stehen rechts.
- Die Kennzeichnung kann durch eine tiefgestellte 2 erfolgen.
- Durch Verwendung von Dualzahlen werden die benötigten Algorithmen einfacher
  und lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren.
- Nachteil: Zahlen mit größeren Werten im Zweiersystem haben sehr viele Stellen und werden damit unhandlich.
- Umrechnung ins Dezimalsystem: Ziffern werden alle jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Rechnen mit Dualzahlen

Im Dualsystem kann man Addieren und Multiplizieren wie im Dezimalsystem. Grundaufgaben der Addition sind:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Grundaufgaben der Multiplikation sind:
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Aufgabe b):: Lösen Sie diese Aufgaben .
Aufgabe c): Stellen Sie sich selbst einige Aufgaben zusammen, führen Sie die Probe durch, indem Sie auch in Dezimalzahlen umwandeln!
Aufgabe d): Online-Übung Beachten Sie, dass bei dieser Übung ein volles Byte geschrieben werden soll - also sind die Dualzahlen 8-stellig. Beispiel: 00111100
Aufgabe e): Sie haben eine Festplatte erworben, auf der steht 200 GiB, Sektorengröße 212 Byte.
Wie viele GByte hat die Festplatte, wenn maan ein "normales " Giga verwendet?