Logik Aussagenlogik | Gatter | Simulationsprogramme | Schaltnetze | Karnaugh-Veitch-Diagramm

Aussagenlogik

Eine Ausage kann sein:
Abk.
Bit-Notation
wahr
w
1
falsch
f
0

nicht - die Negation

Eine Aussage kann wahr oder falsch sein.
Aussage: "Es regnet." Regnet es tatsächlich, so stimmt diese Aussage, wir schreiben w bzw. eine 1.
Aussage: "Es regnet." Regnet es tatsächlich nicht, dann ist diese Aussage falsch, wir schreiben f bzw. eine 1.                         

Angenommen,
andere Schreibweise:
Formel
A gilt nicht
nicht (A)
(A)    (Klammer kann weggelassen werden)

Wahrheitstabelle

A
(A)  
w
f
f
w
 
A
(A)  
w
w
f
f

doppelte Verneinung

A und B

  Formel
A und B A B


Wahrheitstabelle

A
B
A B  
f
f
f
f
w
f
w
f
f
w
w
w
Das logische "und" entspricht dem arithmetischen Multiplizieren. Bsp.: 1*0=0
Wenn die Aussage "Es regnet." und die Aussage "Die Erde wird nass." wahr sind, dann ist die Kombination beider Aussagen wahr.

A oder B

  Formel
A oder B A B
kommt von lat. vel.
Aussage A oder B ist wahr, wenn A wahr ist, oder wenn B wahr ist, oder wenn beide wahr sind .

Wahrheitstabelle

A
B
A B 
f
f
f
f
w
w
w
f
w
w
w
w

a) Füllen Sie folgende Wahrheitstabelle aus:
A
B
 (A B)
(A) (B)
f
f
    
f
w
    
w
f
    
w
w
    

Gatter   

b) Füllen Sie das Arbeitsblatt 1 aus! (wird ausgeteilt)
c) Exkurs für besonders Lernwillige ;-) 15 Seiten für das Selbststudium und hier
d) Sie müssen in der Lage sein, zu Schaltungen, die mehrere (auch unterschiedliche) Gatter enthalten, entsprechende Wahrheitstabellen auszufüllen. Hinweis: Bleistift und Radiergummi ;-)

Operation Operation   Symbol Wahrheitstabelle
0 - falsch
1 - wahr 		Hinweise
NOT NICHT

Das Eingangssignal wird invertiert, also wird am Ausgang der logisch entgegengesetzte Wert ausgegeben.

   e
   a
0
1
1
0
Achtung, oftmals spart man das Zeichnen des NOT-Gatters, indem am Eingang ein kleiner Kreis angegben wird.
AND UND =      a  = *
Der Ausgang ist logisch 1,
wenn an Eingang
und Eingang logisch 1 anliegt.
Die Gatter können auch mehrere
Eingänge besitzen.
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

AND aus 2 NAND
NAND nicht UND                              a =
Vergleiche die Wahrheitstabelle mit der von AND!

Man nennt diese Art von Schaltern auch Öffner - der Stromkreis wird geöffnet, wenn beide Schalter betätigt werden. Die schwarzen Punkte bedeuten, dass die Leitungen miteinander verbunden sind.
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Anwendungsbeispiel: Flash-NAND-Bauteile in Memorysticks.
(siehe Zeile 1 der Wahrheitstabelle)
OR ODER =     a = +
Liegt an mindestens einem Eingang 1 an, so liegt auch am Ausgang 1 an. Das wird auch an dem Zeichen größer/gleich deutlich - also mindestens eine 1 oder mehrere müssen anliegen, damit der Ausgang auf High gesetzt wird.
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
 
NOR nicht ODER                            a =
Vergleiche die Wahrheitstabelle mit OR!
Nur wenn alle Eingänge auf 0 sind,liegt am Ausgang logisch 1 an. Also: Weder der eine, noch der andere Eingang sind 0.
Bezeichnung: Peirce-Funktion
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Man beachte den kleinen Kreis am Symbol (wie bei NOT ud NAND sowie XNOR) .
XOR exklusiv ODER a =
Nur wenn die Eingänge verschieden sind, liegt am Ausgang logisch 1 an.
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0

XOR aus 2 NOT , 2 AND, 1 OR
(siehe Zeile 2 der Wahrheitstabelle)
XNOR nicht exklusiv ODER Der Ausgang ist dann 1, wenn entweder alle Eingänge wahr oder alle falsch sind.
Bezeichnung: Äquivalenz
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

XNOR aus 2 NOT , 2 AND, 1 NOR
(siehe Zeile 4 der Wahrheitstabelle)

e) Drucken Sie sich diese farbigeÜbersicht aus!

Simulationsprogramme

f) Zur Erstellung und Überprüfung von Schaltungen nutzen wir mehrere Simulationsprogramme. Laden Sie sich bitte alle herunter und probieren Sie sie aus.

1. Programme LogicSim und Multimedia Logic
Falls die Datei LogicSim.jar sich nicht öffnen lässt: Rechtsklick, Öffnen mit ... Programme/Java.../bin/javaw.exe)

2.Digital-Simulator V5.5.7 . Dort befindet sich auch die pdf-Datei mit entsprechenden Erläuterungen, auf die unten Bezug genommen wird. Download des Programms:

3. Digital-Simulator in Flash-Technik

Schaltnetze

g) Schauen Sie sich die interaktiven Beispielgatter (Gatter-Grundelemente und weitere Gatter anklicken) an und bauen Sie diese in einem Simulationsprogramm Ihrer Wahl nach!


Beispiele für Schaltnetze, mit obigen Simulationsprogrammen erstellt

h) Bauen Sie auch folgende Schaltungen in einem Simulationsprogramm Ihrer Wahl nach und füllen Sie entsprechende Wahrheitstabellen aus bzw. überprüfen Sie diese!
NAND

Wahrheitstabelle
e1 e2 a
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
AND-Gatter aus 2 NAND-Gattern  
i) Erstellen Sie die Schaltung im Simulationsprogramm und schreiben Sie die Pegel 1 bzw. 0 an die entsprechenden Leitungen. Achten Sie auf die jeweilige Farbe ;-).
j) Erstellen Sie ein UND-Gatter aus drei NAND-Gattern!

AND-Gatter aus 4 NAND-Gattern  
AND-Gatter aus 6 NAND-Gattern  
XOR  
Flash-Animation (Einsatzbeispiel: Schalten des Treppenhauslichts - Wechselschaltung)
Wikipedia
Interpretation des Distributivgesetzes (Digital-Simulator)
Die rechte Schaltung ist hardwareaufwändiger.
k) Zeichnen Sie die Schaltung zur folgenden Schalttabelle, indem Sie nur AND- und OR-Gatter benutzen! Mit welchem Bauteil ließe sich die Schaltung vereinfachen?
e1 e2 a
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Lösung
l) Im Treppenhaus der Schule wird mit vier Schaltern (S1,S2, S3, S4) geschaltet. Es ist zappenduster, wenn zwei oder alle Schalter gleichzeitig gedrückt sind.
Gesucht: Schalttabelle, Schaltung
 
Halbaddierer / Volladdierer  
Multiplexer  
Flipflops  

Karnaugh-Veitch-Diagramm


Mit dem Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm) lässt sich eine Normalform vereinfachen.

Weitere Informationen : Karnaugh-Veitch-Diagramm

Software:
1. Online: Applet (Uni Karlsruhe)
2. Online: Applet (Karma 2.0)
3. Download (Karma 2.0)
4. Online: Applet /TU Ilmenau)

Tutorial

Zahl
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
2
0
0
1
1
1
3
0
1
0
0
0
4
0
1
0
1
0
5
0
1
1
0
0
6
0
1
1
1
1
7
1
0
0
0
0
8
1
0
0
1
1
9
1
0
1
0
1
10
1
0
1
1
1
11
1
1
0
0
0
12
1
1
0
1
1
13
1
1
1
0
0
14
1
1
1
1
1
15
 
 
     
 
0
1
3
2
  
4
5
7
6
  
12
13
15
14
8
9
11
10
     
 

 
     
 
0
0
1
0
  
0
0
1
0
  
0
1
1
0
0
1
1
1